高等代数思想总结

高等代数思想总结（汇集18篇）。

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[摘要]

《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与认识，提出《线性代数》教学抽象概念的讲解应注意的几点问题，阐释了如何进行《线性代数》课程的课堂教学，并且能收到良好的教学效果。

《线性代数》是高等院校理、工类专业重要的数学基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养、训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。但由于“线性代数”本身的特点，对其内容学生感到比较抽象，要深入理解与掌握代数的基本概念与基本理论学生感到相当吃力、难以理解。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。

线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、线性表示、线性相关、特征值与特征向量等抽象概念根植于客观的现实世界，有着深刻的实际背景，即是比较直接抽象的产物。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。新生刚进入大学，其思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。

在概念的教学中，教师要研究概念的认识过程的特点和规律性，根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学方式。因此，在概念教学中应注意以下几点。

尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。

教师在教学中应充分利用学生已有的数学现实和生活经验，引导和启发学生进行概念发现和创造。如在讲解n阶行列式，首先从学生已掌握的二元、三元一次方程组的求解入手，然后求出方程组的解由二阶、三阶行列式表示，分析二阶、三阶行列式的特点。

二阶行列式，不难看出：它含有两项，若不考虑符号，每项均是来自不同行不同列的两个元素的乘积，那么会提出这样的问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律？同样的，三阶行列式若不考虑符号，它含有3！=6项，每项也是来自不同行不同列的三个元素的乘积，并且包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合。为解决n阶行列式，又引出排列的概念、性质，介绍奇偶排列后，又回到我们提出的问题上，可以发现，行标按自然排列，列标排列为奇排列时，该项为负；列标排列为偶排列时，该项为正（问题得到解决）。经过这一过程，学生对n阶行列式已有接触和了解，此时可给出n阶行列式定义，这样一来，学生就容易理解和掌握n阶行列式的性质了。

R.斯根普指出：“个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。”数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。

学习重在理解，学生必须在理解、领悟其深刻含义的基础上记忆定义、定理及一些结论，才能收到理想的效果。线性代数的最大特点就是：知识体系是一环扣一环，环环相连的`。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，教师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。

一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解，培养学生一题多解的能力，解题后反思，及时总结解题思路和方法。如证明抽象矩阵的可逆，就有很多方法，一是用定义。二是用秩的有关命题。三是借助于特征值理论。四是证明矩阵的行列式不为零等。

兴趣是最好的老师。教师一方面在传授知识，另一方面要鼓励学生有针对性的设计他们的目标，这样，他们才肯自觉钻研，乐于钻研。同时，课堂教学中可选择近年来研究生入学考题及一些与实际联系较紧的题目讲解或练习，以激发学生的学习欲望，并给他们带来成功的满足。此外，还可以适当介绍一些有趣的应用典范或教学史来激发学生的学习热情，提高他们的学习兴趣。

多媒体教学成为当前高校教学模式的重要手段。教师只有把传统教学手段、教师自己的特色和多媒体辅助教学三者有机结合起来，才能真正发挥多媒体课堂教学的效果。总之，教师在教学中所做的一切，其目的应在于既教会他们有用的知识，又教会学生有益的思考方式及良好的思维习惯。

参考文献：

[1]张向阳．线性代数教学中的几点体会．山西财经大学学报(高等教育版)，.

[2]于朝霞．线性代数与空间解析几何．北京：中国科学技术出版社，.

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一、说教材：

代数式是在学生学习了用字母表示数的基础上，进一步拓宽知识，它既是有理数的概括与抽象，又是整式运算的基础，也是学习方程应用题，进一步学习函数知识等的基础。列代数式，即用字母把数和数量关系简明地表示出来，结合学生已有的生活经验，使学生的思维实现由数到式的飞跃，数学的文字语言与符号语言的转换。它可以帮助人们从数量关系的角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，使学生体验到数学与现实生活的紧密联系。

二、说目标：

2．1教学目标

根据学生已有的知识基础，依据课程标准和教材分析，确定本节课的教学目标：

1、知识与技能目标：了解代数式的概念，会列出代数式表示简单的数量关系，发展符号感，掌握代数式的有关书写格式。

2、过程与方法目标：在具体情境中让学生经历代数式概念的产生过程，分析归纳得出代数式的概念，从而学会用代数式将问题中的数量关系表示出来，并通过合作，比较总结出列代数式的注意事项。

3、情感态度与价值观：提供多个实际生活情景，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，在合作交流中享受广阔的思维空间，通过列代数式表示生活中的简单数量关系，使学生体验列代数式的实际意义与建模思想方法的实际应用价值。

2．2重难点

代数式的概念是代数学的最基本的概念，是今后学习各类代数式的基础。列代数式是学习列方程的基础，因此代数式概念与列代数式是本节的重点。如何引导学生分析实际问题中的数量关系列出代数式，是本节难点。

教师在上课时，首先要让学生理解代数式的本质，弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，然后设计一定数量的练习题，由易到难，螺旋式上升，使学生能够正确列出代数式。

三、说教法：

3．1教法分析

针对初一学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认知水平，采用启发式，讨论式等教学方法。在教学中注重情境的设置，过程的体验，数学思想的渗透，让学生有充分的思考机会，便课堂气氛活泼，有新鲜感。

3．2学法分析

“授人以鱼，不如授人以渔”。教给学生如何学习是教师的职责。因此在“代数式”教学中，让学生主动观察、比较、分析、讨论、交流，使学生的手、脑、嘴充分调动起来，在轻松、愉快的课堂气氛中亲身体验知识的形成过程。

3．3教学手段

采用多媒体辅助教学，增大课堂教学容量，使学生能充分地学习数学，提高课堂教学效率。利用投影仪进行集体交流，及时反馈信息。

四、说设计：

4．1导入设计

1、创设情境，引入新课（用多媒体展示）

①搭个这样的正方形需要多少根火柴棒？

②每根火柴棒的长为，则一个正方形的周长为，两个正方形的面积为

③一个正方形的面积是个正方形面积的

④一个正方形面积为则它的边长为

先独立思考，再小组交流（四人小组），目的：①把不规范的写法列举出来；②写出正确结果。

通过上面四题，还有加减乘除，乘方，开方六种运算，再通过一题多变为代数式概念的得出作铺垫。

2、展示新知：

问：这些式子有什么共同特征？

请学生发表自己的见解，归纳得出用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意教师强调：单独的一个数或字母也是“代数式”。

书写代数式请注意以下几点：

（1）通常写为·或（乘号省略）

（2）通常写作（除号用分数线表示）

（3）数字写在字母的前面。如不写成

3、应用新知

为了及时巩固，帮助学生对所学概念理解，讲完概念后，教师先不忙着讲例题，而是根据学生的实际情况和他们的心理特点，设计了三个习题。

（1）判别

①不是代数式；

②是代数式；

③是代数式；

④是代数式。

判别的时候要紧扣定义，定义其实由两部分组成：

①用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式；

②单独的一个数或字母也是代数式。含有“＝”或“”这类符号的式子都不是代数式。

（2）下列式子中符合代数式书写要求的是（）

（3）用代数式表示米与厘米的和的式子：

①厘米②厘米③米④厘米，四个式子中正确的是（）

（a）①②（b）③④（c）①③（d）②③

4．4例题教学

例1．用代数式表示：

（1）的3倍与3的差；

（2）的2倍与的的和；

（3）与的和的平方；

（4）与的平方的和；

（5）与两数平方的和；

（6）的立方根。

例1的目的是让学生体会代数式可以简明地，具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。设计由浅入深，从倍分和差到平方、立方根，从低级到高低，符合学生的认知规律。另一方面，要求学生书写规范。

例2．一辆汽车以80千米/小时的速度行驶，从a城到b城需小时。如果该车的行驶速度增加v千米/小时，那么从a城到b城需多少时间？

为了帮助学生更好的理解，突破难点，我把例2分解成下面几个问题：

①这是小学学过的哪类应用题？

②行程问题中的三个主要量的关系如何？

③一辆汽车以80千米/小时的速度行驶，从a城到b城需小时，则a城到b城总路程是多少千米？

④这辆汽车原来的速度为80千米/小时，其速度增加v千米/小时后，该车的速度是多少？

⑤在总路程不变的前提下，那么汽车提速后从a城到b城需多少时间？

在层层设问的前提下，引导学生如何分析，起到潜移默化的作用。

以上题目均由多媒体展示，所有过程均采用学生自由讨论，单独作答的形式。

4．5练习：

1、列代数式：

（1）a、b两数的和与它们的差的乘积；

（2）a、b两数的和与它们的差的商；

（3）a、b两数的平方和减去它们乘积的2倍；

（4）a、b两数的和的平方减去它们的差的平方；

（5）用代数式表示奇数、偶数。

2、填空：

（1）大米的单价为元/千克，食油的单价为元/千克，买10千克大米，2千克食油共需元；

（2）日平均气温是指一天中2：00，8：00，14：00，20：00四个时刻气温的平均值，若上述四个时刻气温的摄氏度分别是，则日平均气温的摄氏温度数是；

（3）一个五彩花圃的形状如图，花圃的面积为。

（4）一隧道长米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为秒，则列车的速度是多少？

进行课堂练习，巩固概念，强化学生对这节课的掌握，根据练习情况，如果错误及时改正。

4．6课堂小结

小结本节课的主要内容，使学生理清这节课的重点内容。

4．7布置作业。

五、说评价：

（1）本节课的教学目标是多元的，涉及知识和能力，过程与方法，情感态度与价值观三方面，体现了“以学生发展为本的教育理念”。

（2）精心设计问题情景，积极引导学生自主讨论，体验过程，获取知识，提高分析问题的能力。

（3）充分利用现代化信息技术，提高课堂效果，活泼学生学习兴趣和学习积极性，使教与学在和谐、愉悦的氛围中进行。

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一、(15 分)设数域 } , 2 { ) 2 ( Q b a b a Q ,

1、记 1 } { n n a Q (其中 n a 两两不同)，由 ) ( 2 ) 2 ( 2 1 Q b b a b a f n n 定义了 ) 2 ( Q 上的映射，验证 1 f 是单射但非满射，并求 ) 2 ( Q 上的映射 2 f 使 id f f 1 2 ( 2 f 是满射但非单射);

2、由 2 ) 2 ( a b b a f 定义了 ) 2 ( Q 上的映射，求 ) 2 ( Q 上的'映射 g 使 id fg gf ，并说明 f 是什么类型的映射及 f 与g 的关系。

二、(10 分)设 M= D C B A ，其中A、B、C、D 均为n 阶方阵，A 可逆，讨论M的求逆 问题：给出M可逆的充分条件(计算中所需要的)，并当M满足这一条件时求M的逆矩 阵(由A、B、C、D 来表示)

三、(10 分)证明若 B C A M 0 ，则 ) ( ) ( ) ( B r A r M r ， 并指出两不同的使此不等式取等号的充分条件。

四、(15 分)设A、B、均为n 阶方阵，r ) ( A =r，r ) ( B =s， 证明 r ) ( B A r+s 及 r ) ( AB min{r，s}。

五、(25 分)讨论线性方程组 n n a a a x x x a a a a a a 2 1 2 1 2 2 2 (n 为偶数， 1 ) 1 ( i i a ) 当 a 在什么范围取值时有解，并当n=4 时求对应全部解 (当有无穷多解时表示成―特解‖与―基 础解系‖的组合形式)。

六、(10 分)计算n 阶行列式 1 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 nx x n x D ( 2 n ) (计算中可记 n k k u 1 1 )。

七、(15 分)验证 } ) ( { 3 A A K M A V 按矩阵的加法与数乘构成一线性空间，求 V 的一组基与维数及 0 1 3 1 0 2 3 2 0 A 在这组基下的坐标。

八、(20 分) 1、简述线性方程组、向量、矩阵及行列式各概念之间的主要关系; 2、简述齐次线性方程组的基础解系概念及构造要点。

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作为高校，结合我校文科生的现状，现在文科高等数学教学上存在以下一些问题：

1.1文科生个体差异性较大、数学基础比较薄弱。高等数学具有运算复杂、内容抽象、应用广泛等特点，因而大部分文科生在潜意识中对数学存在畏难心理，加之近年高校的不断扩招，生源质量得不到保证，学生整体素质下降已成为一个不容忽视的现实。还有相当一部分文科生之所以选择文科专业是因数学成绩不理想，他们普遍认为数学单调乏味、难于理解，无形中就更增加了文科生学习高等数学的难度。

1.2文科生在学习高等数学过程中缺乏学习兴趣、学习动机不明确。数学学习动机直接推动学生进行数学学习，它是学生个人的心理需求、企图达到目标的一种内在动力。现实中，数学科学与人文科学的联系越来越密切，数学里面处处显现哲学等人文科学。教师要向学生讲明两者的辩证关系，在教学中不断激发学生的学习动机和兴趣，逐步培养良好的学习习惯与方法。

1.3教学方法简单、形式单一。文科高等数学是近些年才开设的基础学科，教师大多是从理工科教师中挑选的。这些教师虽然具有丰富的经验，但对文科生的专业不很了解，对文科高等数学的教法还不熟悉，教学难以突出重点，且与学生专业内容联系少，引不起学生的学习兴趣。在教学实践中，不能遵循“学生为主体、教师为主导”的教育理念，对深奥的定理、抽象的概念讲得过多，以致学生学习兴趣降低、教学效果较差。

1.4课程设置和教材内容还需进一步完善。教材的质量直接影响到教育质量的高低。当前，文科高等数学课程没有通用的教学大纲，虽然目前教材的数量很多，但适宜文科生特点的教材很少。大部分是以理科高等数学为模本，通过简单改编而成。教材中的内容多而杂，语言生硬抽象、难以理解，与许多文科专业联系少、缺乏实用性。许多教师在教学过程中只专注讲解教材内容，而缺少背景介绍和联系实际应用。

从对沧州师范学院级文科类开设高等数学课程的市场营销、旅游管理、金融保险等专业调查问卷的统计数据看，文科生中比较喜欢数学的占42%，文科专业学生中认为目前所学的高等数学内容比较难的占57%，学习高等数学比较吃力的占71%。从调查中我们发现“降低难度”“提高趣味”的比例较大，因此我们必须在这些方面下功夫、做文章。文科生的专业特点决定了高等数学在知识层面上不宜对学生有过高的要求，更不能成为他们学习的负担。文科高等数学的教学要放弃单纯的理论灌输，教材内容必须考虑思维方式的培养、数学知识的结构优化，还要涉及文科生的专业特点，可以将一些应用较广的内容补充进来。例如：要开设微积分、线性代数、微分方程等课程。微积分是高等数学教学的基本内容，也是许多课程的基础，应用广泛而深刻，这点必须向学生重点介绍。对于一些必要的计算，线性代数的应用比较广泛，特别是对金融经济学专业学生来说更为重要。还可以利用数学建模做些探索性的尝试，形成边学边用的学习环境。

根据当今社会对高素质人才的渴求及文科生未来要从事的工作，结合高等数学学科的历史特点、发展趋势和作用来看，设置文科高等数学的目的大致有两个方面：一是培养与增强文科生的理性思维、能力，提升文科生的整体素质;二是理解与掌握高等数学的基本思想、方法和内容。在这两方面中对文科生来讲应以前者为重，后者是前者的基础，前者只有通过后者才能实现。一个人若具备良好的数学素质，可以更好地利用科学的方法和思维分析解决实际问题，提高创新意识、能力。随着计算机的出现和IT产业的飞速发展，各门学科的融合、量化趋势更促进了数学与其他学科的结合，这就要求文科生也应具备一定的数学素养。

俗话说：兴趣是最好的老师。兴趣能激活人的思维潜能，让人主动去学习，并使人更多地接触该领域的内容。依据文科专业的特性和学生自身特点，将数学文化融入到文科数学教学，不仅丰富教学内容更能激发学生的学习兴趣。数学文化主要是指数学的思想、精神和方法。文科生不擅长抽象、逻辑思维，而发散、形象思维较好，分析综合问题的能力和论证问题的能力较差，但对事物较敏感且具有文学知识的优势等特点。在教学中尽可能将数学史融入其中，有很多以数学家的名字命名的定理，比如柯西定理、费马引理等，在讲这些内容时，都可以把背景知识介绍给学生，并尽可能将数学语言文学化、艺术化，使学生在学习数学分析、论证方法和理性思维的同时，感受到高数的魅力，不仅能掌握数学的精神、思想和方法，提高思维逻辑能力，同时也可以开阔眼界，激发他们的学习兴趣。

数学家哈根莫斯说过：“最好的学习方法是激励学生自己去动手、去思考，而不是讲清事实。”因此，在课堂教学中应采取精讲与勤练相结合的教学方法，让学生多分析和思考、多提问题，并通过调查问卷等形式及时反馈学生的意见，不断完善教学手段，以充分调动学生的积极性。可以借助多媒体技术使课堂教学变得更加生动和直观，内容上也更具感染力和表现力。例如：在讲授二重积分时，可先从讨论计算曲边梯形的面积之间的关系引出二重积分与曲顶柱体体积的关系，再利用多媒体使曲顶柱体划分为小曲顶柱体的过程更直观化，激发学生的学习兴趣。另外，多关心学生的学习和生活，多采用鼓励的方法促进教学，也会收到意想不到的效果。

当前，高等数学的考试方式一般是以闭卷考试为主，兼顾考查上课出勤及平时作业情况。这种评价方式存在的一大弊病就是以试卷成绩决定学生的学习情况。这样就会导致学生只知考前突击、死记硬背，而不注重日常学习和积累。这种评价方式与我们的教育目的相悖，既不能反映学生t的真实水平，也不利于提高学生的数学素养，更难以调动学生的学习热情。为了培养学生创新意识和提高数学应用能力，我们必须摒弃单一评价方式，对其进行合理优化，将考核方法改为闭卷和开卷相结合的方式，例如：用提交论文的形式把考查目标融入相应的实际问题，教师只负责指导，而让学生利用各种方式亲自动手搜集资料、寻找适当的解决方法，以此来考查学生对高等数学知识的认知程度和数学在各知识领域中的应用能力。

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一个数，或一个表示数的字母，或由若干个数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算所得的式子，都叫做代数式。

代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的'初等代数。

代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。

生活代数式

一、女性标准体重计算公式

体重是每个女性的秘密，都不想让别人知道，很多人通过运动悄悄达到减重减肥的目的，那么体重和身高的关系是什么呢?科学家们众说纷纭，都根据自己的研究给出了女性标准体重计算公式，我们看看以下几个计算公式(设身高为hcm，体重为Tkg)：

(1)T=0.9(h-100)-2.5.

假设小艾的身高为168cm，按照公式(1)，那么她的标准体重是T=0.9 ×(168-100)-2.5=58.7(kg)!

(2)T=0.6(h-70).

换成公式(2)，小艾的标准体重是T=0.6× (168-70)=58.8(kg)!

(3)T=0.45(h×1.37-110).

再换成公式(3)，小艾的标准体重是T= 0.45×(168×1.37-110)=54.1(kg)!

据说公式(3)是最新出炉的最完美女性标准体重计算公式!

二、小儿身长预测成年时身高法

1、男性身高=出生时身长(厘米)÷0.2949;女性身高=出生时身长(厘米)÷0.3109。用此公式要注意：只适用于正常足月新生儿;测量身长数据时如能精确到0.1厘米，身高的预测将更准确。

2、男性身高=3岁时身高×0.545+父母平均身高×0.544+37.69(厘米);女性身高=3岁时身高×0.545+父母平均身高×0.544+25.63(厘米)，人体标准身高预测公式(遗传法则)

男性身高=(父亲身高+母亲身高)×1.08÷2(厘米)

女性身高=(父亲身高×0.923+母亲身高)÷2(厘米)

上述公式大体上符合“高加高生高，高加矮生高，矮加矮生矮”的遗传学原则。

骨龄可知孩子的生长潜力

骨龄和年龄不是一回事，骨龄是生物年龄，与生长密切相关，常用来评价人生长发育的成熟状态。判断骨龄主要是利用X线，拍一张小儿右手腕骨的X片，根据腕骨X片显示的骨化点的个数及小儿的实际年龄就可以确定小儿的生长潜力。骨化点出现比实际年龄早，说明孩子的生长潜力较小;相反说明小儿生长潜力很大。有些家长为了孩子能长高些，给孩子服用一些催长的药物，虽然暂时加快了小孩的生长，但由于“刹车”时间提前反而影响了最终的身高，这种做法显然是不可取的。

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在代数王国中，有三个鲜为人知的兄弟，分别是大哥二元一次方程，二哥一元一次方程和三弟二元一次方程组。“咚咚”，又是代数王国中一年一度的“比亏联欢会”三兄弟都报了名，并且三兄弟还准备选出一个代表，代表方程家族报名参赛。

大哥说：“这次我一定要当这个代表，因为在方程家族中我最亏，瞧，像爸爸，三元二次方程组，妈妈二元二次方程组，爸爸妈妈都是二次，而我只是一次，我亏。！”

话音刚落，三弟就迫不及待的说：“不对哥哥，你是一次，我是一次，再说你有无数组解，我才有一组解，我亏，我亏”

还没等三弟说完，二哥就泼口大骂：“你们都富有，我才是最亏的呢？你们都是二元，都是一次，都有两组以上的解，而我呢？只有一元，一次，只有一个解，我更亏！”

这时，大哥再以按奈不住了，大声说：“你说你们亏，可解我比过你们都麻烦，浪费我的时间，我更是亏！”这时，三弟哭着说：“你们都还好，不用割你们的肉，要知道肉是连心的，解我，还要消去，我一元，消去一元算了，还有代入和加减法，我更亏。！”三兄弟纷争不休了，终于散伙了。

这时，国王来了，对他们三兄弟说：“你们都别吵了你们都亏而且还是相连的，两个大哥二元一次方程才能组成三弟，如果没了二哥，三弟也没属于你自己的解。你们兄弟三人是代数王国中的功臣，有了你们，才使我们代数王国可以运转我宣布你们都是获奖者！”

兄弟三人听了国王的话，觉得很羞愧，他们又重新合好，为代数王国做贡献。

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考研数学线性代数 重视基本概念

线性代数在数一、数二、数三中所占的比例都是22%，分值为33分，最近几年的考研大纲中对线性代数的内容和要求基本保持不变，如果能静下心来认真复习，紧抓基本知识点就能把考研数学中的线性代数的33分全部拿下。

那么如何复习才能在考试时把线性代数的所有相关分值一网打尽呢?

一、心理上要足够重视

可能对于很多考生来说，线性代数所占的33分怎么也比不上高等数学所占的84分重要，所以在复习的时候心理上就先入为主认为高等数学很重要，而且不论是基础班、强化班还是冲刺班的复习也都是从高等数学开始切入的，这导致考生潜意识里就对线性代数疏远。这种状况需要纠正，线性代数的内容不多，重点也很明显，容易掌握，满分是完全有可能的。

二、选择合适的辅导书/辅导班

因为只看课本是不够的，课本的题目缺乏综合性，所以考研复习需要辅导资料的帮助，但是辅导资料太多，要如何选择呢?可以从几个方面评价：看是否按照考试大纲的要求编写，层次是否分明，知识点之间是否共通、是否有联系，不要购买那些含有大量超纲内容的辅导资料，这种参考书只会逐渐地消耗掉你的信心和耐力。辅导资料不在多，而在于精，一定要看透书本，要消化掉。

对于基础不好或者时间很紧的考生来说，可能自己没有足够的时间来规划和复习备考，这时候选择一个好的辅导班就显得很重要了。像暑期特训营就是专门为考生暑期辅导开设的一个班种，辅导老师会根据每个学生的自身基础情况去规划复习过程，所用的教材也是经过筛选、紧贴大纲的好的资料，这样就为学生节省了很多时间和精力，可以好好的按照规划好的步骤复习了。

三、重视基本概念、基本性质、基本方法的理解和掌握

基本概念、基本性质、基本方法一直都是考研数学的重点。有些考生对基本概念掌握不牢靠，理解不透彻，在答题时不知道使用哪个定理、哪个公式，该如何下手，这是基本功不扎实的表现，所以在复习的时候一定要重视基础知识，要复习所有的公式、定理和定义，扎扎实实、一步一个脚印的复习，另外多做一些基础题来巩固这些基本知识。

四、提高解题能力和解题速度

线性代数的主要考点集中在向量组的相关与无关、线性方程组、特征值与特征向量、二次型上面，矩阵与行列式掺杂其中。书中总结出的公式与结论有些可以在解题中直接使用，为了保险起见，可以注明所用公式的原貌。客观题中在不违反逻辑关系的前提下所有公式都可以直接使用。

考生在做题时不要一味的追求难题、偏题和怪题，考研试题主要就是考察考生对基本概念、基本原理和基本方法的掌握程度，并在此基础上加强对考生的运算能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力的'考察，试题综合性较强，也有一定的灵活性。所以考生平时在做题的过程中需要注意总结一些解题思路，哪种类型的题需要用什么思路，解题过程中容易出错的地方在哪里，这样经过一段时间训练后，在正式考试中看到相似题型后可以迅速确定用哪种解法，大大提高了解题的速度和效率。

复习备考的过程比较长，这是对毅力和信心的考验。当这场马拉松进行到一半的时候，同路的考研人一个个倒下去了，你是否还能巍然不动，继续前行?坚持了，胜利就可能是你的，否则，以前的所有努力全白费。

道理很简单，关键在于是否能付诸行动。坚持到底，胜利就是你的。加油吧!

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A finite group G is called PN-group if G is not nilpotent and for every p-subgroup P of G, there holds that either P is normal in G or P C Z∞(G) or NG(P) is nilpotent, p ∈π(G).In this paper, we prove that PN-group is meta-nilpotent, especially, PN-group is solvable. In addition, we give an elementary, intuitionistie, compact proof of the structure theorem of PN-group.

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线性代数是代数学的一个分支，今天数学界一致认它作为一门独立学科诞生于上世纪30年代，因为吸纳了系统的线性代数内容的著作是在这一时期产生的，如Van的名著代数学第二卷就把线性代数作为其中的短短一章。

回顾线性代数的历史基础上，分析了关于线性代数的几个核心问题：第一介绍了几种关于线性代数基本结构问题的看法；第二介绍了关于线性代数的两个基本问题，即“线性”和“线性问题”；第三介绍了线性代数的研究对象；第四分析了线性代数的结构体系。

上世纪80年代以来，随着计算机应用的普及，线性代数理论被广泛应用到科学、技术和经济领域，因此线性代数也成为高等院校理工科各专业的一门基础课程，文章简述线性代数的相关核心核心问题。

线性代数是代数学的一个分支，今天数学界一致认它作为一门独立学科诞生于上世纪30年代，因为吸纳了系统的线性代数内容的著作是在这一时期产生的，如Van的名著代数学第二卷就把线性代数作为其中的短短一章。但是线性代数的一些初级内容如行列式、矩阵和线性方程组的研究可以追溯到二百多年前；19世纪四五十年代Grassmann创立了用符号表述几何概念的方法，给出了线性无关和基等概念，这标准着线性代数内容近代化开始；19世纪末向量空间的抽象定义形成，并在20世纪初被广泛用于泛函分析研究，从而使线性代数成为以空间理论为终结的独立学科，因此可以说线性代数是综合了若干项独立发展的数学成果而形成的。从上世纪六七十年代起线性代数进入了大学数学专业课程，在我国这门课程称为高等代数，它以线性代数为主体并纳入了一章多项式理论。

无论是高等代数或线性代数，这个课程有两个特点：一个特点是各部分内容相对独立，整个课程呈现出一种块状结构，原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线。我们几乎可以找到从线性方程组，行列式，向量，矩阵，多项式，线性空间，线性变换中的任何一个分块开始展开的教材，其展开过程主要取决于作者串联这些分块的形式逻辑的脉络。另一个特点是内容抽象，要真正掌握线性代数的原理与方法必须具备较强的抽象思维能力，即对形式概念的理解能力和形式逻辑的演绎能力，而这两种能力要求几乎超越了大多数学生在中学阶段的能力储备，而必须在学习这门课程的过程中重塑。主要是这两个原因，线性代数被认为是一门非常难掌握的课程，而克服这一困难的关键就是针对线性代数课程的这两个特点进行有效的课程改革。

线性代数基本结构问题，学者们历来有许多不同的看法，较为常见的是以下几种：

第一种是以矩阵为中心。

这一看法认为整个线性代数以矩阵理论为核心，将矩阵理论视为各个内容联系的纽带。在求线性方程组、判定方程组的解以及研究线性空间问题时，矩阵理论是重要工具。例如正交矩阵和对称矩阵主要应用于欧氏空间和二次型方程问题中。可见，只要对矩阵知识有了全面系统的理解后，就能将各种问题都化解为矩阵理论中的一部分，引申为矩阵问题。

第二种是以线性方程组为中心。

这一关观点认为线性方程组是线性代数研究的基本问题。具体操作过程中，将线性方程组的理论和方法应用到各个章节，由此引出矩阵、行列式、向量等理论，最后列出方程组、求解，然后进一步应用，串联起各部分内容。这一理论较为系统、科学，常常被初学者采纳。

第三是一种线性代数体系，以线性变换和线性空间为核心。

在学习线性代数之前，学生要先掌握关系、集合、环、群、域等概念，形成对高等数学的研究对象、知识结构、表达方式的初步认识。线性代数体系依次安排了线性空间、内积空间、线性变化、矩阵概念和性质等章节。掌握线性变换基础后，再教学线性方程组求解知识，在此基础上，进一步引出特征向量、特征值和二次型理论。整个体系以线性代数为核心，内容介绍、理论讲解及方法系统化为一个整体。

第四是以向量理论为核心。

对二维、三维直角坐标系的研究是线性代数的起源。学生在中学时就已经了解了关于平面向量的一些基本知识，因此，将向量作为整个线性代数知识的核心，有利于使各部分内容的联系更加密切、理论体系更加完整完善，学生的空间概念也能得以加强。矩阵、行列式、线性方程组一般为研究维向量空间所必须的表示工具、向量的`线性相关性的判别工具）和未知向量的计算工具，从宏观讲它们独立于体系之外，从微观讲它们也是维向量空间的一些具体内容。而二次型仅仅是对称双线性函数的一个简单应用。

“线性”这个数学名词在中学数学课程中，学生从未接触过。而这一课程是大学数学的基础课程，学生刚进入大学，对这一词汇的具体内容知之甚少。所以在学习之前，学生必须对什么是“线性”有所了解，在“线性代数”这一课程中有对于“线性”概念的明确介绍。这是学习线性代数要解决的第一个基本问题，即什么是“线性”。

从整个数学全局来看线性代数，可将涉及到的数学问题分为两类：即线性问题和非线性问题。其中，对于线性问题的研究，历来有最完善的理论和最多的研究成果；并且，许多非线性问题往往也可以转化为线性问题解答。所以解决具体的数学问题时，首先应判断该问题是否属于线性问题，如果是线性问题该采用怎样的解决方法，如果不是线性问题，应考虑如何将其转化为线性问题。这是学习线性代数要解决的第二个基本问题：什么是“线性问题”，如何处理“线性问题”？

了解了什么是“线性”、什么是“线性问题”后，离完成线性代数的教学目的还有很长一段距离。如今的高校教育，一味灌输给学生行列式、向量、矩阵、线性变换等空洞的数学定理，指导学生用这些理论来思考线性代数的基本结构、具体应用等问题。教师在教学线性代数问题时更是一味强调理论的选择与应用，却忽视了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的培养。

稍微观察一下我们可以发现，中学的初等代数就是线性代数的前身，只是在其基础上的进一步抽象化。初等代数研究的多是具体的问题，运用加减乘除的运算方法即可解决问题；线性代数中则引入了许多新的概念，如向量、向量空间、集合、空间、矩阵等等，问题展现的形式发生了变化，要想解决问题，我们的思维方式也应该发生变化。涉及到新概念的数学问题往往都很抽象，如向量指的是既有数值又有具体方向的量；向量空间是许多量组成的集合，这一集合中的元素全都符合特定的运算规则；集合是具有某种属性的事物的总和；矩阵理论则是一种更加抽象化的理论，因此我们的研究方法和思维方式都要随之进行改变。如初等代数中的基本运算法则性代数中经常会失效，线性代数的研究对象是向量运算、矩阵运算和线性变换，解决问题时，需要采用一种特殊的运算方法。

综上所述，线性代数的学习中应重点培养两个方面的能力：

一个是知识掌握的能力的培养。介绍知识时应坚持从易到难、循序渐进。先掌握好中学的运算法则，再慢慢学习向量、矩阵知识，之后学习线性变换，最后综合学习线性运算。学生经过中学阶段的学习，完全掌握了加法和乘法这两种基础运算法则，简单了解了向量运算。矩阵知识相对于前者更加抽象，因此应放在之后学习。线性变换则是线性代数教学中的重点和难点所在，也是最容易被忽视的地方。由于线性变换可结合映射知识学习，而映射知识在中学数学和微积分教学中都有详细的介绍，在此基础上学生更容易理解线性变换及运算的相关知识，更容易解决矩阵特征值问题、线性方程组问题及二次型问题等。

另外一个是思维能力的培养。在学习中，注意引导学生带着问题学习，并在学习中进一步发现问题、解决问题，这是最有效的思维方式和学习方法。前文提到了学习线性代数必须先了解的两个基本问题：什么是“线性”、什么是“线性问题”。这两个基本问题应该始终贯穿性代数的学习过程中。无论在什么阶段的学习，都要注重理论知识和实际问题的有效结合。学生在掌握了一定的理论知识后，可尝试去解决相关的实际问题。在这一过程中，学生会加深对理论知识的理解，并进一步发现自身知识储备的不足之处。若单单追求知识的应用，而不加深自己的理论素养，最终也无法具备良好的思维能力。所以，在学习线性代数时，要培养好两方面的能力，使之相辅相成、相互促进。

结语：

20世纪后50年计算技术的高速发展，推动了大规模工程和经济系统问题的解决，使人们看到，线性代数和相关的矩阵模型是如微积分那样的数学工具，无所不在的线性代数问题，等待着各层次的工程技术人员快速精确地去解决相关线性代数问题。因此绝大对工科学生而言，数学课应该使他们有宏观的使用数学的思想，要使工程师了解工程中可能遇到的各种数学问题的类别，并且知道应该用什么样的数学理论和软件工具来解决，这是一种高水平的抽象。而了解线性代数的核心问题，无疑对线性代数课程的学习有重要的价值。

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摘要：对于高职院校的学生来讲，数学在其教学过程中起着基础性的作用，对于学生后续的学习相当关键。但是从现阶段高职院校数学教学的基本情况来看，数学教师的教学方法以及教学策略都相当落后，对于学生数学兴趣的提升造成了不同程度的影响。在这样的背景下，相关专家提出了数学建模的方式，希望以此提升高职院校高等数学的教学效率。本文结合数学建模在高职高专人才培养当中的意义和作用入手，对于其中的应用策略进行全面的分析，希望为相关单位提供一个全面的参考。

随着我国社会的发展，经济产业结构日益升级，因此高等院校的人才需求日益扩大，对于高职教育的发展提供了前所未有的契机。在这样的背景下，从数学建模入手，将其思想融入到高等教育的数学教学当中，对于其中的策略和方法进行全面的研究应该是一项具有普遍现实意义的工作。

从近些年的发展来看，参加过数学竞赛的学生在科研能力等方面都具有比其他同学更强的优势，因此数学建模在提升学生创新能力、提高学生知识水平以及调动学生的学习兴趣都具有十分重要的意义。比如在解决实际问题的时候，数学建模通过利用各种技巧，可以使得学生分析问题、创造能力得以全面的提升，进而使得学生在摒弃原始思考问题方式的基础上，敢于向传统的知识发出挑战，对于学生的综合能力的全面提升相当关键。其次，数学知识本就源于生活，因此在建模的基础上学生就可以带着问题去思考，这对于数学知识整体性的发挥以及解决问题能力的提升都具有十分重要的意义。最后，面对传统数学的解决方式，很多学生望而生畏，因此主动分析问题的欲望就会受到遏制。在这样的背景下，通过数学建模方式，学生会发现数学方法的灵活性，进而使得他们解决问题的能力得以全面的提升。

3.1制定切实可行的教学大纲，从而使得教学进度得以保障。教学大纲在高职教学当中起着十分重要的作用，这对于教学内容的合理性以及提升学生学习的针对性都具有十分重要的意义[1]。比如在教学高等数学（一）的选修模块时，教学大纲的制定应该结合学生的专业，从而使得学生的数学学习真正取得实效。比如可以为理工类的学生选择无穷级数以及傅里叶变换的内容；机械类的学生选择线性代数以及解析几何作为教学内容，从而使得学生的综合能力得以全面的提升。3.2开展“三段式”的教学模式。数学建模在以解决实际问题为核心的过程中，使得学生分析问题以及组织问题的能力得以全面的提升，这种方式的本质为素质教育，因此不能和现行的其他教学模式分割开来，这就需要相关部门开展“三段式”的教学模式，使得学生的数学兴趣得以全面的提升。其中，第一段需要还原数学知识的原创过程，使得学生明确数学知识的产生过程，进而让学生从生活案例当中发现数学的价值，比如知道极限是由人影的长度变化引起的，导数是由于驾车的速度引入的，使得学生发现知识的价值，进而就会大大提升自己的学习兴趣和探究意识。第二段：讲解数学知识。数学建模是在实际问题当中引入的，因此要通过具体数学知识的讲解使得学生明确数学建模的真正价值，比如在讲解微积分的过程中，可以以“极限-微分-积分”为主线，使得学生对于数学的分析能力真正得以提升[2]。然后在为学生积极引入大量数学图表的基础上，为增强学生的感性认识，进而提升学生的综合能力奠定坚实的基础。第三段：数学知识的运用。随着社会的发展，数学的应用在各行各业都发挥出巨大的作用，因此对于高等数学在实际生活当中发挥出来的作用进行全面的探究是实现这种知识价值的真正途径。在这样的背景下，高等数学教师要将每个知识点的运用真正灌输给学生，比如指数增长在银行计息当中的应用、定积分在学习曲线当中的.应用、再生资源在数学开发以及管理当中的应用等等。从而使得学生数学学习中的创新意识以及应用能力得以全面的提升。3.3开设数学实验，提升学生的综合素质。数学建模为学生提供了一种真正的“数学实验”，在这种实验的过程中，学生对于数学知识的发展以及由来过程都会得到进行全面的考虑，这对于他们数学探索意识的提升具有十分重要的意义。另外，在计算机辅助实验的过程中，学生的动脑能力也会得到全面的提升，这对于学生主动的学习数学相当关键。因此在教学过程中，教师要积极利用这种方式对于学生进行全面的培养。

总之，随着我国经济水平的不断提升，社会对于高职院校的重视力度日益提升，因此对于高职院校当中数学建模思想在高等数学教学当中的应用进行全面的分析是实现学生综合素质得以全面提升的关键措施，这对于学生的长远发展也相当关键，相关教育工作者要加大在这方面的研究力度，力求将高职院校的学生培养成为新时代所需要的人才。

参考文献：

[1]吴健辉,黄志坚,汪龙虎.对数学建模思想融入高等数学教学中的探讨[J].景德镇高专学报,,(4).

[2]张卓飞.将数学建模思想融入大学数学教学的探讨[J].湘潭师范学院学报(自然科学版),,(1).

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摘要：由于高等代数课程概念多和理论性强， 导致教学内容枯燥乏味、晦涩难懂， 因此有必要丰富高等代数教学内容， 提高高等代数的课堂教学效果， 激发学生学习的积极性。本文将从在教学中引入数学史、抽象概念的通俗化讲解和知识点在实际问题中的应用三个方面研究提高高等代数课堂教学效果的措施。

关键词：高等代数； 数学史； 数学概念； 数学实例；

《高等代数》是数学学科的一门重要的传统课程， 不仅是数学专业的主干基础课程， 也是数学在其它学科应用的必需基础课程， 而且高等代数在现代数学、物理、工程以及经济等学科领域有广泛地应用。同时高等代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性， 使得每一个认真学习他的学生都能在代数计算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力能力方面得到充分的锻炼。但是高等代数的抽象性强、概念多和定理多等特点， 使得教学内容枯燥乏味， 晦涩难懂。因此， 如何降低教学内容的枯燥性， 提高高等代数的课堂教学， 激发学生学习高等代数的兴趣， 是高校数学教师越来越关注的课题。

高等代数是我校统计学院统计学专业和数学专业的专业基础课之一， 教学课时为第一学期60课时， 第二学期54课时， 总计114课时， 采用合班教学方式。根据多年的教学经验， 以及本校学生的生源情况， 发现高等代数的教学主要存在以下几个方面的问题。

首先， 学生方面存在的问题。由于高校招生规模的扩大， 导致生源质量整体下降， 这就要求一般高等院校由大学的精英教育转变为大众教育。比如以西安财经学院学生为例， 学习高等代数的学生所学专业为数学类和统计学类专业， 数学高考分数为100分左右， 学生的数学基础有些薄弱。而高等代数内容抽象， 概念多， 定理多， 与高中数学的差别非常大， 学生在刚接触时非常不适应， 容易导致学习兴趣不高。同时， 在高中时数学的学习主要是被动式的， 而大学数学的学习是主动式的， 所以学生在没有严格的监督下的学习效果是不理想的， 使得遇到难度高的学科学习热情也不高。在高等代数多年的教学中发现， 学生开始接触高等代数时是具有一定学习热情的， 但是随着学习内容的增加， 概念越来越多， 加上学习内容和方式的单调乏味， 慢慢的抹杀了学生学习的积极性。

其次， 教师教学方法方面存在的问题。高等代数教学方法目前存在不容忽视的问题。高等代数的特点就是概念多， 定理多， 而且知识点之间又具有较强的逻辑关系， 使得学生很难理解其中的真谛。在当前实践教学中， 教师在讲授概念的过程中总是按照先给出概念的定义， 然后举实例， 接着做练习题的逻辑顺序展开， 学生只是被动地接受一个一个概念， 却不知道为什么要这么做。某些学生学到最后都不知道高等代数主要讲的是什么内容， 虽然"硬灌"的教学方法可能使学生的考试可以过关， 但是大大挫伤了学生学习高等代数的兴趣。

基于以上原因， 我们在高等代数教学过程中， 从高等代数发展史、抽象概念的通俗化和知识点的实际应用三个方面做了一些探索， 丰富高等代数的课堂教学， 力求将枯燥抽象的高等代数讲解的通俗易懂， 将抽象复杂的计算应用于实例， 使高等代数的讲解更具有激情， 不再晦涩难懂， 增强学生学习的信心， 提高学生学习高等代数的兴趣。

1 通过数学史的引入提高课堂教学效果

在高等代数的教学过程中引入数学史， 将能帮助学生领会数学的思想方法， 化解难点， 变抽象为具体， 揭示新旧知识之间的内在联系， 充分展示高等代数知识的发展过程， 挖掘其思想内涵和文化渊源。

比如讲解行列式和矩阵的概念时， 可以先讲行列式和矩阵发展历史。在十七世纪欧洲的资产阶级工业革命实践中， 随着线性方程组问题的'出现， 行列式与矩阵的理论也随之提出。线性方程组求解的研究是在三个和四个未知量的方程组。在1750年， 克莱姆又提出了在理论上非常有意义的克莱姆法则。十八世纪后期， 数学家范德蒙研究了行列式的性质和理论， 拉普拉斯又作了补充和发展， 凯莱引进了行列式的符号， 直到十九世纪初期行列式才形成了一个较为完整的理论体系。而矩阵被认为是线性代数的核心， 这个词首先由西尔维斯特在1850年使用， 但是现在意义下的"矩阵"是1857年由凯莱引进的， 他第一个把矩阵本身作为研究对象， 因此凯莱被认为是矩阵论的创始者。

在讲解行列式和矩阵的过程中， 如果巧妙的引入与之相关的数学史， 将呈现给学生们的是一个完整的知识体系， 数学史的讲授使学生身临其境般地感受到数学的发展， 同时突破现有的框架形成更加有机的全面认识。因此将数学史和数学教学融合在一起， 从数学史的观点分析学生学习数学时的困难， 丰富枯燥的课堂教学， 将会提高高等代数课堂教学的效果。

2 通过抽象概念的通俗化讲解提高课堂教学效果

数学概念是高等代数的主要内容之一， 涉及到高等代数的每个章节， 所以数学概念的掌握是学好高等代数的关键。由于高等代数概念比较抽象， 而且概念之间的关系错综复杂， 导致学生容易混淆， 无法理解所学内容， 造成学生产生厌学情绪。因此， 如何丰富高等代数的教学内容， 将抽象的概念讲解的浅显易懂， 让学生在谆谆诱导下轻松理解抽象的数学概念， 提高高等代数的课堂教学效果， 也是我们需要研究的内容之一。

比如"极大线性无关组"在向量这一章中是非常重要的概念， 是高等代数教学中的一个重点和难点， 因为对整个向量组的问题研究， 完全可以转化到它的等价向量组"极大线性无关组"问题的研究。然而"极大线性无关组"的含义和选取是学生很难理解的一个问题。如果我们把一个小区的"一个人"看作一个向量， 小区的"所有人"看作一个向量组， 小区里一个家庭里的人称为相关的， 不是一个家庭的人称为无关的， 那么从每个家庭里各选取一个人构成的向量组将是一个极大线性无关组。而向量组的秩就是极大线性无关组的所含向量的个数， 也就是小区家庭的个数。通过生活中的例子通俗的解释抽象极大线性无关组的数学概念， 不仅让学生容易理解和掌握数学概念， 而且使学生意识到"数学知识源于生活"这个道理。从生活引入概念的教学模式是概念通俗化讲解的主要手段之一， 对提高课堂教学效果， 激发学生学习的兴趣非常有效。

3 通过将知识点在实际问题的实践提高课堂教学效果

由于高等代数具有概念抽象和计算过程复杂等特点， 学生在学习过程中难免会产生厌倦情绪。如果在教学过程中， 我们将抽象的概念、复杂的计算和实际应用问题结合起来， 将会使学生对抽象的数学概念和复杂的计算有更深入的理解， 从而摆脱枯燥的学习过程。比如， 矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论的重要组成部分， 在矩阵中具有非常重要的地位， 但是特征值和特征向量在高等代数课本中， 不仅抽象而且计算过程复杂， 学生学习压力较大， 在历年期末考试中， 得分率较低。

如果在教学过程中引入一些生活中常见的应用实例， 不仅让学生对特征值和特征向量的应用背景有一定的理解， 还可以更好的理解和掌握特征值的专业知识。比如在讲解完特征值和特征向量的计算后， 可以讲解利用特征值和特征向量求解人口模型的问题和传染病模型的问题。通过在实际问题中的应用， 让学生了解到特征值和特征向量理论不仅可以解决高等代数本身的问题， 而且还可以解决一些实际问题。通过对复杂抽象的数学知识在实际问题中的应用， 不仅消除了学生学习的恐惧感， 而且激起了学生通过所学专业知识用于求解实际问题的兴趣。

总之， 针对目前高等代数教学中存在的问题， 我们通过在高等代数教学中引入数学史、概念的通俗化讲解和知识点在实际问题中的应用， 丰富枯燥无味的教学内容和教学方法， 提高课堂教学效果， 激发学生学习高等代数的兴趣， 不断探索培养符合高校转型时期社会需求的应用型人才。

参考文献

[ ：75—77。

[ ：122—125。

[ ：169—171。

[ ：84—89。

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一、线性代数如果注意以下几点是有益的.

由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形;

由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形;

由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等;

由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。

二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

1、线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

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摘要：数学建模是为改变传统高职高等数学教学中存在的内容陈旧和理论脱离实际的缺陷而产生起来的课程，它着重于学生能力和素质的培养、知识的应用和创新。在高等数学教学中引进数学模型，渗透数学建模的思想与方法，不仅能大大激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学和应用数学的能力，而且能够提升教师的教学水平，丰富现有的教学方法，拓宽课堂教学的内涵，有效提高高等数学的教学质量。

高等数学是高职理、工、经济、管理等专业的一门必不可少的基础课程，为其他专业课程的学习，以及将来的技术工作，奠定了必要的数学基础。然而各类高职院校学生高等数学的学习情况却不容乐观，多数学生反映高等数学太难，数学课枯燥，成绩不理想，有些学生甚至跟不上教学进度。要想改变这种状况，高职院校必须对高等数学教学的传统思想观念和教学方法加以改革，教师不仅要教会学生一些数学概念和定理，更要教会他们如何运用手中的数学武器去解决实际问题。数学建模就是将现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释和指导现实问题。数学建模对于提高学生运用数学和计算机技术解决实际问题的能力，培养创新能力与实践能力，培养团结合作精神，全面提高学生的素质具有非常积极的意义。

在高等数学教学中，帮助学生去发现问题、分析问题并想办法利用所学数学知识解决问题非常重要。在传统的高等数学教学中，学生基本处于被动接受状态，很少参与教学过程。教师在教学过程中常常把教学的目标确定在使学生掌握数学理论知识的层面上。通常的教学方法是：教师引入相关概念，证明相应定理，推导常用公式，列举典型例题，要求学生记住公式，学会套用公式，在做题中掌握解题方法与技巧。当然，在高等数学教学中这些必不可少，但这只是问题的一个方面。目前，高等数学的题目都有答案，而将来面对的问题大多预先不知道答案，这就要让学生了解如何用数学去解决日常生活中或其他学科中出现的实际问题，提高用数学方法处理实际问题的`能力。

在高等数学课程教学中积极渗透、有机融合数学建模的思想方法，积极引导、帮助学生理解数学精神实质，掌握数学思想方法，增强运用数学的意识，提高数学能力，对培养学生的数学素养，全面提升教育教学质量有着积极的实际意义。

事实上，高等数学中很多概念的引入都采用了数学建模的思想与方法，比如，从研究变速直线运动的瞬时速度与曲线切线的斜率出发引入导数的概念，从研究曲边梯形的面积出发引人定积分概念，从研究空间物体的质量出发引入三重积分概念等。教师在讲课过程中要适时、适当、有意识地加以引导，考虑到学生实际的数学基础，在授课前应有针对性地结合现行教材的各个章节，搜集相关内容的实例，尽可能将高等数学运用于实际生活。讲授内容时适当介绍相关的一些简单模型，不仅能丰富大学数学的课堂内容，而且能很好地活跃课堂气氛，调动学生的学习积极性。以下就在高等数学实际教学中应用数学建模思想的实例加以说明。

微分方程数学模型是解决实际问题的有力工具，在了解并掌握了常见的常微分方程的建立与求解后引人人口模型：人口增长问题是当今世界最受关注的问题之一。著名的马尔萨斯模型是可分离变量的微分方程，很容易求解，其解说明人口将以指数函数的速度增长。该模型检验过去效果较好，但预测将来问题很大，因为它包含明显的不合理因素。这源于模型假设：人口增长率仅与人口出生率和死亡率有关且为常数。这一假设使模型得以简化，但也隐含了人口的无限制增长。Logistic模型也是可分离变量的微分方程。该模型考虑了人口数量发展到一定水平后，会产生许多影响人口的新问题，如食物短缺、居住和交通拥挤等，此外，随着人口密度的增加，传染病增多，死亡率将上升，所有这些都会导致人口增长率的减少，根据统计规律，对马尔萨斯模型作了改进。作为中长期预测，Logistic模型要比马尔萨斯模型更为合理。   另外，微分方程模型还有很多，例如与生活密切相关的交通问题模型、传染病模型等。

闭区间上连续函数的性质理论性较强，严格的证明在一般的高等数学教材中均略去。零点定理是其中易于理解的一个，该定理有很好的几何直观。但其应用在教学中也仅限于研究方程的根的问题。“方桌问题”：四条腿长度相等的方桌放在不平的地面上，四条腿能否同时着地？这个问题是日常生活巾遇到的实际问题，在一定的假设条件下，该问题可抽象为数学问题。通过构造辅助函数，利用零点定理便可得问题答案是肯定的。教学中还可提出若桌子是长方形的，是否结论还成立？利用这个模型，学生们不仅了解了数学建模的过程，很好地掌握了闭区间上连续函数的性质，而且提高了学习高等数学的积极性。

此外，与生活实际相关的拉橡皮筋问题、巧切蛋糕问题、登山中的上山下山问题都可归结为零点定理来建立数学模型。这些模型的建立，对于学生消化理解零点定理甚至介值定理都有很大的益处。

最值问题是实际生活中经常碰到的问题，用导数解决实际生活中的最值问题是高等数学的重要内容，学好导数，重视导数应用是学好高等数学基础。在讲完导数应用的理论内容后，引人“光学中的折射定理”：光在由一种介质进人另一种介质时，在界面处会发生折射现象。折射现象造成的结果是所谓的“最短时间”效应，即光线会走最短的路径。经过一定的条件设定，这样最短时间效应对应的优化问题为求传播时间的最小值问题，经计算可得光学中著名的折射定理。该定理是学生在高中物理中学习过的重要定理，通过建立数学模型，并利用导数问题加以解决，加深了学生对折射定理的认识，并进一步理解导数应用问题。

另外，运输问题、森林救火费用最小问题、最佳捕鱼方案问题等都是生活中的实际问题，这些问题模型的建立、解决都能使学生对导数应用起到加深理解的作用。

现实世界中充满了不确定性，我们所研究的对象往往受到诸多随机因素的影响，因此所以建立的数学模型涉及的变量是随机变量，甚至变量间的关系也非确定的函数关系，这类模型称为随机模型。几何概率模型就是涉及“等可能性”的概率问题。著名的蒲丰问题便是几何概率的一个早期例子：平面上画着一些平行线，它们之间的距离均为定值，向此平面投一长度小于平行线间距离的针，试求此针与任一平行线相交的概率。值得注意的是，通过对此问题建立概率模型，可以看到它与某个我们感兴趣的量――圆周率有关，然后设计适当的随机试验，并通过试验的结果来确定这个量。

随着计算机的发展，按照蒲丰问题的思路建立起一类新的方法，称为蒙特卡罗方法，并取得广泛应用。约会问题也是几何概型问题，即：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求两人能会面的概率。

合理安排理论教学恰当引入数学建模的思想和方法，主动引导学生运用所学数学知识去分析和解决实际问题，就能充分调动学生学习高等数学的积极性，让学生发挥学习的主观能动性，感受学习高等数学的乐趣。

数学建模活动主要包含数学建模课程、数学建模培训与竞赛等。参加过数学建模活动的学生基本能通过采集、整理和分析数据与信息，找出量和量之间的关系，针对问题合理的假设将其转化为一个数学问题，建立数学模型，利用计算机对所建模型求解，最后对结果进行分析处理，检验和评价，从而解决问题，最终完成一篇或报告。数学建模活动着重培养了学生下面几项能力：应用数学方法和思想进行综合分析推理的能力（创造力、想象力、联想力和洞察力）、数学语言与生活语言的互译能力、查阅文献资料并消化和应用的能力、使用计算机及相应数学软件的能力、的撰写能力和表达能力、团队合作的能力。

开展数学建模活动是渗透数学建模思想的最重要的形式，它既可以体现课内课外知识的结合，又可以满足普及建模知识与提高建模能力结合的原则，为培养学生综合运用数学知识分析和解决实际问题的能力提供了实践平台，有效地提升了学生的数学综合素质。

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实验室管理的成效和水平是目前衡量本科院校学科建设实力的主要标准，因此，本科院校十分重视对自身实验室的管理和建设,尤其是数学实验室的建设。随着科学技术的发展和科研设备的健全,本科院校数学实验室管理技术和水平日益提升，无论是在设备投入还是在师资队伍建设方面都取得了重大突破，但在实际的实验室管理工作中尚存在诸多问题，阻碍了学术研究的进展和创新。因此，本科院校必须针对该问题采取一系列相关举措，以此促进高校数学实验室管理有序进行。

我国本科院校数学实验室在管理过程中主要存在观念落后的现象，实验室管理主张平均主义思想，管理人员创新观念不强，实验室的器材和设备虽然比较健全，但是由于实验室管理较为分散，实验室管理环节的衔接性较低，本科院校为了实现实验室建设管理经费的平衡，不能进行相互合作,从而难以引进较为先进的仪器和设备,从而实验室的整体力量难以有效提升。同时,对于数学实验室的管理而言,各个教师之间缺少协调和沟通，实验室管理没有形成有机体系，无形之中增加了数学实验室管理费用。

数学实验室管理体制不健全是目前我国本科院校数学实验室管理工作中最为根本性的问题，也是目前亟待解决的问题。本科院校数学实验室管理机构众多，职能也各不相同。一般而言，本科院校数学实验室以仪器设备管理为核心，以师资队伍建设管理为重要辅助，以经费核算为保证。同时，随着我国本科院校招生数量不断增加的状况下，多数本科院校急剧扩大实验室规模，导致实验室管理体制无法适应目前的教育现状。数学实验室管理体制的不健全主要体现在数学实验室管理人员缺少协作、实验室设备购置重复浪费、实验室规模与高校教学活动不相适应、实验室教学效果弱化等方面，影响了我国本科院校数学教学实践活动的顺利开展。

实验室师资队伍结构不合理、素养较低严重制约了高校数学教学活动的质量提升，是目前较为普遍的问题之一。在我国本科院校师资队伍管理过程中，实验室教学人员学历不高、实践经验尚不丰富。一方面，数学实验室师资队伍年龄结构不合理，以中年教师为主，缺少新鲜血液，缺少与外界的沟通联系，难以接触先进的科研成果和思想;另一方面，实验室师资队伍更新速度慢，随着新技术和现代化科学技术的发展，实验室管理需要创新理论基础、创新科研成果，不断提升数学实验室师资队伍的教学水平和自身素养。

促进本科院校数学实验室管理的规范化首先要提升对数学实验室的认识，转变观念,具体要从以下两个方面做起:第一，提高对数学实验室作用的认识。对于本科院校而言，数学实验室管理的有效与否直接关乎其学术活动的顺利开展以及高效科研成果的创造，因此，实验室管理，尤其是数学作为基础性学科，其实验室建设对于本科院校建设发展更是至关重要。本科院校要坚定这一认识,不断提高对数学实验室管理的重视程度，重视实践的作用。第二，转变观念。随着目前市场经济的发展,本科院校实验室管理也面临着众多挑战，实验室管理目前存在的问题严重制约了本科院校科研成果的发展，也难以适应科学技术急剧变化的社会背景。因此，本科院校要转变数学实验室管理观念，与市场经济接轨，力求为社会的发展带来最大的社会效益。

数学实验室管理体制的健全是发挥实验室效益的根本举措，创新本科院校数学实验室管理体制主要从以下两个方面出发：第一，建立管理数学实验室的'行政机构。行政力量和学术氛围的双重保障将会使得数学实验室管理效率大大提高，同时也能保证实验室管理人员、设备的完善和更新。第二,加强数学实验室规章制度建设。无论是数学实验室的管理,还是实验室教学工作的开展，都需要严密的规章制度加以保障，以此稳定数学实验室管理的有序进行。实验室需要完善、规范的操作流程和管理规范，逐步实现依法建设、规范建设，满足本科院校学术建设的需要，同时为学生进行科技创新提供支持。此外，数学实验室建设需要重视学生的力量，以学生为主体,教师作为辅助角色。总之，数学实验室管理是一项系统性的工程，需要本科院校以及政府的共同努力，建立标准化的实验室管理体制，创新实验室管理体制。

加强本科院校数学实验室师资队伍建设需要从实验室队伍建设以及实验室教师素质的提升两方面出发:第一，加强实验室队伍建设。数学实验室队伍建设需要树立正确的管理观念，首先要培养高素质的学科带头人，学科带头人是实验室的中坚力量,他们对于学术研究以及科研发展状况十分了解，因此，高素质的学科带头人是实验室管理的关键所在。第二，实验室教师素质的提升首先需要提升教师本身的道德素养,培养其爱岗敬业的精神。而后，教师的教学水平和专业素养是实验室师资队伍管理的核心，教师要掌握实践的基本要求，掌握学科本身发展的最新动态，以人才队伍建设促进实验室实力的提升。

综上所述，目前我国本科院校数学实验室管理方面主要存在实验室建设观念落后、管理体制不健全、师资队伍不合理等问题，因此，本科院校应从提升对数学实验室认识，转变观念、创新本科院校数学实验室管理体制、加强本科院校数学实验室师资队伍建设等方面改进数学实验室管理体制，提升本科院校实践教学质量，促进本科院校学术进步以及科技创新。

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